Differentialregning

[ringstedLC]

I forhold til c):
Jeg kan ikke finde ud af at differentiere den i hånden, hvad gør jeg?

c) Differentiering:
\(O(x)=2\,\pi\,x^2+2\,\pi\,x\,h=2\,\pi\,x^2+2\,\cancel{\pi}\,\cancel{x}\frac{100}{\cancel{\pi}\,x\,\cancel{x}}
\;,\; h=\frac{100}{\pi\,x^2} \\
O(x)=2\,\pi\,x^2+200\cdot \frac{1}{x} \\
O'(x)=2\,\pi\cdot 2x+200\cdot \Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr)=4\,\pi\,x-200\cdot\frac{1}{x^{2}}=4\,\pi\,x-200\,x^{-2}
\)

Optimering:
\(4\,\pi\,x-200\,x^{-2}=0\qquad(\textup{grafens nulpunkt}) \\
\pi\,x-50\,x^{-2}=0 \\\pi-50\,x^{-3}=0 \\50\,x^{-3}=\pi \\x^3=\pi^{-1}\cdot 50^{1} \\
x=\pi^{-\frac{1}{3}}\cdot 50^{\frac{1}{3}}\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\Rightarrow x_{min}\approx 2.52\;(\textup{cm}) \\\\
h=\frac{100}{\pi\Bigl(\pi^{-\frac{1}{3}}\;50^{\frac{1}{3}}\Bigr)^{\!2}}
=\frac{100}{\sqrt[3\,]{\pi}\;\bigl(\!\sqrt[3\,]{50}\,\bigr)^{\!2}}\Rightarrow h_{min}\approx 5.03\;(\textup{cm})
\)

NB. Opret en ny tråd ved ny opgave!

[Gaspard]

Radius hedder \(x\) og ikke \(r\). Så derfor er
\(O(x)=2\pi x^2+2\pi xh\). Dette kan så reduceres til \(2\pi x\cdot(x+h)\)
Det er blevet reduceret, fordi der er færre tegn, når man anvender parentesen. Parentesen betyder ikke andet end, at \(2\pi x\) skal ganges med først \(x\) og så med \(h\) og til sidst skal de to produkter adderes.
Fra a) skulle du have fået \(h=\frac{100}{\pi x^2}\)
Når du indsætter dette, får du \(O(x)=2\pi x\cdot {(x+\frac{100}{\pi x^2})}=2\pi x^2+\frac{200} x\)
Når jeg så differentierer i hånden, giver det
\(O'(x)=2\pi\cdot 2x-\frac{200}{x^2}\)
Nu mangler du at løse ligningen \(O'(x)=0\) for at bestemme den radius, der giver den mindste overflade, når der skal være 100 \(cm^3\) i dåsen. Håber, det var svar på dine spørgsmål.

Det var det. Tak for hjælpen igen. Jeg kan sådan set godt fornemme den bagvedliggende regning (at faktorisere eller sætte ligningen til 0 er rimelig enkelt). Måske er det bare træning, jeg mangler.

[Gaspard]

I forhold til c):
Jeg kan ikke finde ud af at differentiere den i hånden, hvad gør jeg?

c) Differentiering:
\(O(x)=2\,\pi\,x^2+2\,\pi\,x\,h=2\,\pi\,x^2+2\,\cancel{\pi}\,\cancel{x}\frac{100}{\cancel{\pi}\,x\,\cancel{x}}
\;,\; h=\frac{100}{\pi\,x^2} \\
O(x)=2\,\pi\,x^2+200\cdot \frac{1}{x} \\
O'(x)=2\,\pi\cdot 2x+200\cdot \Bigl(-\frac{1}{x^{2}}\Bigr)=4\,\pi\,x-200\cdot\frac{1}{x^{2}}=4\,\pi\,x-200\,x^{-2}
\)

Optimering:
\(4\,\pi\,x-200\,x^{-2}=0\qquad(\textup{grafens nulpunkt}) \\
\pi\,x-50\,x^{-2}=0 \\\pi-50\,x^{-3}=0 \\50\,x^{-3}=\pi \\x^3=\pi^{-1}\cdot 50^{1} \\
x=\pi^{-\frac{1}{3}}\cdot 50^{\frac{1}{3}}\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\Rightarrow x_{min}\approx 2.52\;(\textup{cm}) \\\\
h=\frac{100}{\pi\Bigl(\pi^{-\frac{1}{3}}\;50^{\frac{1}{3}}\Bigr)^{\!2}}
=\frac{100}{\sqrt[3\,]{\pi}\;\bigl(\!\sqrt[3\,]{50}\,\bigr)^{\!2}}\Rightarrow h_{min}\approx 5.03\;(\textup{cm})
\)

NB. Opret en ny tråd ved ny opgave!

Jeg kendte ikke lige til boardets kutyme og tænkte, at det var bedre at beholde spørgsmålene i én tråd.
Jeg har virkelig svært ved præcist at følge ræsonnementet ovenfor, selvom jeg godt kan gennemskue de bagvedliggende principper. Jeg starter på B-A-undervisning senere i januar, så en lærer og lektiecafé hjælper nok på det hele : -)

Men tak for hjælpen!