Integralregning

[Ibenhenriksen]

Hej,

Jeg undrer mig over, hvad ubestemt integral egentlig bliver brugt til. Jeg ved at bestemte integraler bliver anvendt til at bestemme arealet under kurven, volumen af omdrejningslegemet og kurvelængder. Jeg kan dog ikke blive klogere på, hvad gavn ubestemte integral har, selvfølgelig udover at man kan finde stamfunktionen, men så er jeg også i tvivl om, hvorfor man bestemmer en stamfunktion. Jeg er godt med på stamfunktionen bliver fundet for at finde frem til f(x), men hvorfor er vi interreseret i at finde den egentlig funktion for en en afledet funktion?

[Ibenhenriksen]

Jeg håber det også er okay at spørge endnu et spørgsmål herunder. Hvorfor hedder det ikke
F'(x)+k = f(x), når der står flere steder, at når man integrere og bruger regnereglerne så er det underforstået at man bør sætte konstanten på.

[JensSkakN]

Den oprindelige funktion kaldes normalt \(f(x)\) og stamfunktionen kaldes \(F(x)\). Det gælder altid, at hvis \(F(x)\) er en stamfunktion, så er \(F(x)+k\) ligeledes en stamfunktion. Var det et svar på dit andet spørgsmål?
Stamfunktioner kan bruges til mange ting. Lad mig komme med et eksempel. Vi kender hastighedsfunktionen i form af: jeg kørte mod vest med 80 km/h i 10 minutter, så bremsede jeg langsomt op på 10 sekunder og holdt stille i 1 minut. Derefter startede jeg med konstant acceleration på 2 km/h pr. sekund og kørte så med 50 km/h i et kvarter, fordi der var vejarbejde.
Find ud af, hvor du er til et givet tidspunkt efter start. Bemærk, at det kun kan afgøres på nær en konstant, da du ikke har fået at vide, hvor man oprindelig startede. Her finder man stamfunktionen til hastighedsfunktionen.
Der er også mange andre eksempler.
Det er altid Ok at spørge.

[ringstedLC]

\(\begin{array} {llllll} F'(x)+k &= f(x) &\Rightarrow F'(x) &= f(x)-k &\Rightarrow F(x) &= \int\!\bigl(f(x)-k\bigr)\,\mathrm{d}x \\ \textup{hvorimod}\\ \bigl(F(x)+k\bigr)' &= f(x) \\ F'(x) &= f(x)-k' &\Rightarrow F'(x) &= f(x) &\Rightarrow F(x) &= \int\!f(x)\,\mathrm{d}x \\ \end{array}\)

[Ibenhenriksen]

Det giver rigtig god mening. Tusind tak for hjælpen til jer begge to:)

[MikeCharlie]

Jeg kunne også godt tænke mig et eksempel på fortolkningen af et integral. Lad os sige jeg indtager en tablet paracetamol. Efter 8 timer er medicinen ude af kroppen. I en model ses medicinkoncentrationen i blodet som et andengradspolynomium, \(f(x)=ax^2+bx+c\). Hvis jeg nu laver et bestemt integrale, \(\int_{0}^{8}f(x)dx\) får jeg et tal udtrykt ved \(F(x)\). Hvordan kan dette tal fortolkes som andet end "arealet under grafen"?

[JensSkakN]

Formentlig har medicinen en virkning på din krop, der er proportional med koncentrationen til et givet tidspunkt.
Så en rimelig tolkning er 'den samlede virkning af indtagelsen af denne tablet'.

[MikeCharlie]

Tak, Jens