Hej
Jeg sidder med volumenberegnelse af omdrejningslegemer og opdager at de to formler adskiller sig fra hinanden på følgende måde:
\(V_x=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)^2}\cdot{dx}\)
\(V_y=\pi\int_{a}^{b}{f(x)\cdot{x}}\cdot{dx}\)
Hvis jeg nu tager udgangspunkt i et eksempel \(f(x)=x+1\) hvor jeg integrerer fra \(a=1\) til \(b=3\) og roterer punktmængden omkring \(y\)-aksen, så er
\(V_y=\pi\int_{1}^{3}{(x+1)\cdot{x}}\cdot{dx}=2\pi\int_{1}^{3}{(x^2+x)}dx=2\pi[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2]_{1}^{3}=2\pi[9+\frac{9}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}]=2\pi\frac{38}{3}\)
Hvis jeg nu skal rotere punktmængden omkring \(x\)-aksen får jeg
\(V_x=2\pi\int_{1}^{3}{(x+1)^2}\cdot{dx}=\frac{112\cdot{\pi}}{3}\)
De to volumener er forskellige, da \(f(x)\) er forskudt \(1\) op ad \(y\)-aksen, men jeg forstår ikke hvorfor de to formler ser forskellige ud?
Mvh
MikeCharlie
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Rotation omkring akserne
-
- Indlæg: 39
- Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59
Re: Rotation omkring akserne
De to formler er forskellige, fordi det er to meget forskellige klodser, du beregner rumfaget af.
Forestil dig funktionen \(f(x)=1, a=7, b=9\). Hvis du drejer om \(x-\)aksen, har du en cylinder med højde 2 og radius 1.
Hvis du drejer om \(y-\), har du en ring med tykkelse 1, ydre diameter 9 og hullets diameter er 7.
Forestil dig funktionen \(f(x)=1, a=7, b=9\). Hvis du drejer om \(x-\)aksen, har du en cylinder med højde 2 og radius 1.
Hvis du drejer om \(y-\), har du en ring med tykkelse 1, ydre diameter 9 og hullets diameter er 7.
-
- Indlæg: 39
- Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59
Re: Rotation omkring akserne
Tak, Jens.
Det kan jeg godt se. Det gik også lige op for mig at funktionværdien bliver omdrejningslegemets radius når man roterer rundt \(x\)-aksen.
Det kan jeg godt se. Det gik også lige op for mig at funktionværdien bliver omdrejningslegemets radius når man roterer rundt \(x\)-aksen.