Webmatematik - Forum

Hej
Hvordan beviser jeg at f(x)=ln⁡(x) er differentiabel for alle x>0?
:-)

Hvis du definerer
\(\ln(x)=\int_1^x{\frac 1 z}\mathrm{d}z\,\,\,, \,x>0\)
er det indlysende, at \(\ln\) er differentiabel i 1 og at \((\ln(x))'=1\) for \(x=1\)
I et andet punkt \(x_0\) har man
\(\frac{\ln(x_0+h)-\ln(x_0)} h=\frac{\ln(1+\frac h {x_0})+\ln(x_0)-\ln(x_0)} h={\frac 1 {x_0}}\cdot{\frac{\ln(1+\frac h {x_0})-\ln(1)}{\frac h {x_0}}}\)
Men da den sidste brøk har grænseværdien 1 for \(\frac h{x_0}\) gående mod 0, får hele udtrykket grænseværdien \(\frac 1{x_0}\).
Dermed er det bevist

\(e^x\) og ln(x) er omvendte funktioner

\(e^x\) er differentiabel for alle værdier af x med differential koefficienten \(e^x\) som er positiv for alle x

Heraf følger at ln(x) er differentiabel for alle x>0