Binomialfordeling og konfidensinterval

[carl]

Jeg sidder her med en opgaver hvor jeg skal opstille et regneudtryk til bestemmelse af p(x=5)
Højere oppe i min opgave har jeg fået af vide, at x~b(12,0.4). Jeg ved ikke om dette er relevant. Alt hjælp er værdsat

[JensSkakN]

Ja, det er i høj grad relevant.
b står for binomialdordelt.
Ved du, hvad det betyder? Dit spørgsmål antyder, at det ved du ikke.
Det vil sige, at du skal undersøge sandsynligheden for at få 5 bestemte resultater i 12 delforsøg.
Disse 12 delforsøg må kun have 2 mulige udfald - deraf bi i binomialfordeling. Du kan tænke på at kaste en mønt og se, om det bliver plat eller krone. Eller at kaste en terning og se om den enten viser 1 eller 3, eller omvendt 2, 4, 5 eller 6. Du kan også tænke på at få et barn og se, om det bliver en dreng eller en pige. osv.
Sandsynligheden for at få det ene af 2 udfald i hvert delforsøg er her 0.4. Nu skal vi beregne sandsynligheden for at få netop 5 af disse udfald i 12 forsøg.
Beregningen foretages således
Sandsynligheden for at de første 5 forsøg giver netop dette resultat er \(0.4^5\).
Hvis du ikke ved, hvad det betyder eller hvorfor sandsynligheden bliver det, må du skrive igen.
Sandsynligheden for at de næste 7 giver det andet resultat er \(0.6^7\).
Sandsynligheden for i 12 forsøg, at først få 5 af det ene resultat og derefter 7 af det andet, bliver \({0.4^5}\cdot{0.6^7}\).
Så mangler vi at tage hensyn til, på hvor mange måder vi kan placere 5 krydser på 12 pladser. Dette kan gøres på \(\frac{12!}{{5!}\cdot{7!}}\)
måder.
Alt i alt er den ønskede sandsynlighed \(p(X=5)={\frac{12!}{{5!}\cdot{7!}}}\cdot{0.4^5}\cdot{0.6^7}\)
Jeg har ingen chance for at vide, om du forstår dette, da jeg ikke kender dig. Men hvis du skal have mere hjælp, så skriv præcis, hvor dine problemer ligger.

[MikeCharlie]

Hej Carl

Jeg vil forsøge at supplere med hvad Jens skriver.

Ligningen han henviser til er en sandsynlighedsfunktion for en binomialfordelt stokastisk variabel \(X\).

\(P(X=r)=K(n,r)\cdot{p^r}\cdot{(1-p)^{n-r}}\)

Dette lyder rigtig fancy, men principielt handler det om at man har en funktion der angiver sandsynligheden for et udfald, f.eks. krone eller plat, altså enten-eller. Det at variablen \(X\) er stokastisk, henviser til at den er tilfældig, dvs. den er ikke en variabel vi selv vælger, som f.eks. den uafhængige variabel \(x\) indsat i en klassisk type funktion (hvor \(y\) afhænger af den valgte \(x\)).

Når man anskuer formlen, ser man at det er tale om et produkt, hvor

• \(K(n,r)\) angiver "på hvor mange måder" (ref. formlen fra kombinatorik)

• \(p^r\) angiver sandsynligheden for succes \(r\) (det ønskede udfald)

• \((1-p)^{n-r}\) angiver sandsynligheden for fiasko \(n-r\) (det uønskede udfald)

[JensSkakN]

Hej MikeCharlie
Jeg er meget i tvivl, om jeg skal svare på det her, men er endt med at gøre det.
Du må jo mene, at min forklaring var dårlig, svær at forstå, og du kunne forklare det bedre. Den rette til at afgøre det er måske Carl, især hvis han faktisk forstår mindst én af forklaringerne.
Jeg mener ikke, at jeg henviser til nogen ligning, men jeg prøver at forklare et argument for en beregning, der fører til et resultat.
Så angiver du den generelle formel for sandsynlighedsfunktionen \(P\), men skriver så at man har en funktion der beskriver sandsynligheden for et udfald. Dette er forkert og det er den reelle årsag til at jeg skriver dette indlæg. Sandsynligheden for et bestemt udfald er \(p\) og det er noget helt andet end sandsynlighedsfunktionen \(P\).

[MikeCharlie]

Hej Jens

Det har ikke været min intention at træde nogen over tæerne.

Min formulering er forkert, det kan jeg godt se. Jeg mener sandsynligheden for, at \(X\sim{b(n,p)}\), antager værdien \(r\) er givet ved \(P(X=r)\)