Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

ligning

Besvar
LA.H
Indlæg: 9
Tilmeldt: 21 apr 2022, 18:42

ligning

Indlæg af LA.H »

Hej, jeg har brug for hjælp til 2 opgaver.
Den første er at løse følgende ligning i hånden, hvilket ikke er min stærke side:)
4 = t^3-2*t

Den anden er en delopgave b), hvor jeg har lavet a).
b) Linjen l er bestemt ved ligningen l: x-4y-4=0
Bestem det tidspunkt, hvor hastighedsvektoren er parallel med l.

I delopgave a) fik jeg hastighedsvektoren til at være 9 over 1

På forhånd tak:)

(dette er begge opgaver uden hjælpemidler)
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2023-02-01 kl. 17.56.54.png
Skærmbillede 2023-02-01 kl. 17.56.54.png (127.7 KiB) Vist 1143 gange
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: ligning

Indlæg af ringstedLC »

l's normalvektor skal være parallel med r(t). Det betyder, at deres diskriminant ...

Eller:
l's normalvektor skal stå vinkelret på hast.-vektoren. Det betyder, at deres skalarprodukt ...
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: ligning

Indlæg af JensSkakN »

Ligningen \(4=t^3-2t\) er en ligning af en type, hvor I ikke har en generel metode.
I stedet for må man tænke. Man opdager, at hvis man differentierer funktionen \(f(t)=t^3-2t-4\) får man \(f '(t)=3t^2-2\).
Ved hvert ekstremum er \(f '(t)=0 \), hvilket giver \(t^2=\frac 2 3\).
Men da \(f(t)=t\cdot{(t^2-2)}-4\), får man at i et ekstremumspunkt er \(f(t_{ekstr}\lt1\cdot{\frac 4 3}-4\lt 0)\), altså kan funktionen kun have 1 nulpunkt.
Det er ret nemt at gætte et nulpunkt, idet man hurtigt får ideen at beregne \(f(2)\), som er 0.

Det svære i denne her løsning, er at vise, at der ikke kan være flere nulpunkter og dette kan muligvis gøres mere elegant end jeg har gjort det.
Man vil få en del point, for blot at vise, at \(t=2\) er en løsning.
LA.H
Indlæg: 9
Tilmeldt: 21 apr 2022, 18:42

Re: ligning

Indlæg af LA.H »

Er det muligt at få forklaret begge ting en gang til? Jeg tænkte nok at t = 2, idet jeg også skulle løse en anden ligning i hånden (dog lidt nemmere) 4 = t^2, hvor løsningen var t = 2 eller t = -2. Ligningerne må derfor have samme parameterværdi t = 2.
Men jeg er ikke helt med på hvordan jeg skal skrive ligningen op og løse den i hånden? og Hvilken formel skal jeg benytte i delopgave b)
Er normalvektoren egentlig, hastighedsvektoren vendt om, så -1 over 9?
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: ligning

Indlæg af JensSkakN »

Ligningen er \(4=t^3-2t\)
Du gætter, at \(t=2\) er en løsning ved at prøve dig frem: \(4=2^3-2\cdot 2=8-4=4\)
Du skriver: Ligningerne må derfor have samme parameterværdi t = 2.
Jeg ved ikke helt, hvad du mener med 'derfor'. Men du har ret i, at man nu har indset, at \(t=2\) er en løsning. Problemet er, om der kunne være andre løsninger. Jeg vil ikke kalde \(t\) for en parameter her.
Ud fra den generelle teori ved man, at at dette er en tredjegradsligning og at en sådan højst har 3 løsninger. Så der kunne altså være 1 eller 2 mere.
Du skal først indse, at løsning af ligningen svarer til at finde nulpunkter for funktionen \(f(t)=t^3-2t-4\).
Min fremgangsmåde er så at undersøge monotoniforhold for denne funktion. Hvis du ikke kender det begreb, så skriv det.
Undersøgelsen viser, at funktionen først er voksende, så aftagende og så voksende igen. Det nulpunkt, vi har fundet (\(t=2\)), kommer på den sidste voksende del. Problemet er derfor, om man ved det første lokale maksimum er kommet op på 0 eller over 0.
En omhyggelig beregning viser, at funktionsværdien i dette lokale maksimum er \(\frac 4 3\sqrt{\frac 2 3}-4\). Dette er et negativt tal. Jeg har forsøgt at vise dette ved en løs, men korrekt, vurdering. Jeg er blot kommet til at skrive en parentes forkert. Der skulle have stået
\(f(t_{ekstr})\lt 1\cdot{\frac 4 3}-4\lt 0\)
Nu ved vi, at \(f\) først vokser indtil den når op til at bestemt negativt tal, derefter aftager den, dvs. den bliver endnu mere negativ og så vokser den igen og passerer undervejs \(x-\)aksen ved \(t=2\). Ligningen kan derfor ikke have andre løsninger end den ene, vi har fundet.
Hvis du synes, at dette er sort snak, så glæd dig over, at svaret \(t=2\) som du har fundet ved at gætte og kontrollere, nok giver 8 p ud af 10. De sidste 2 point, er så for de elever, der håber på at få 12 i karakter.
RingstedLC antyder to metoder. Da du omtaler normalvektoren, ser jeg nærmere på den anden metode.
Til \(t=3\) er hastighedsvektoren \begin{pmatrix} 9\\ 1 \end{pmatrix}
og dens normalvektor er så \begin{pmatrix} -1\\ 9 \end{pmatrix}
Det har du vist styr på.
Men til tiden \(t\) er hastighedsvektoren \begin{pmatrix} 2t+3\\ 1 \end{pmatrix}
Du har lært, at normalvektoren til linjen er \begin{pmatrix} 1\\ -4 \end{pmatrix}
Hvis hastighedsvektoren er parallel med linjen, skal skalarproduktet af disse 2 vektorer derfor være 0.
Løsningen er \(t=-3.5\)
LA.H
Indlæg: 9
Tilmeldt: 21 apr 2022, 18:42

Re: ligning

Indlæg af LA.H »

Det jeg mente med paramterværdi, var at jeg i den opgave blev bedt om at finde parameterværdien hørende til et punkt P(4,4), hvilket er de ligninger jeg skulle løse.
Jeg forstår nu hvad du mener med at der kun er en løsning, for jeg tænkte også at det var lidt underligt at det er en tredjegradsligning med kun 1 løsning, og uden CAS-værktøj er det også vanskeligt at løse den.
Mange tak for den uddybende forklaring.
LA.H
Indlæg: 9
Tilmeldt: 21 apr 2022, 18:42

Re: ligning

Indlæg af LA.H »

I delopgave b) får jeg skalarproduketet til -13.
Jeg har nemlig taget skalarproduktet af (-1/9) og (1/-4)
Jeg går ud fra jeg har gjort noget forkert. Idet det skal være 0, skal jeg så løse en ligning hvor jeg finder t?
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: ligning

Indlæg af JensSkakN »

hastigheden til \(t=3\) er som du angiver og så bliver skalarproduktet -13.
Men du kan ikke regne med, at \(t=3\). Så får du noget andet.
Hvis du prøver med \(t=-3.5\), så bliver skalarproduktet 0.
Og hvis du forlanger, at skalarproduktet er 0, så får du \(t=-3.5\).
Besvar