Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Ortogonalitet mellem to rette linjer
-
- Indlæg: 39
- Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59
Ortogonalitet mellem to rette linjer
Hejsa
Jeg skal bestemme en værdi for \(k\), så \(l_{1}\) og \(l_{2}\) er ortogonale.
\(l_{1}: 3x-4y=2\)
\(l_{2}: k\cdot{x}-2y=4\)
Jeg ved at \(l_{1}⊥l_{2}⇔a\cdot{c}=-1\)
Altså, produktet af hældningskoefficienterne \(a\) og \(c\) skal være \(-1\) hvis \(l_{1}\) og \(l_{2}\) er ortogonale. Jeg ser, at \(a=3∧k=c\):
\(3\cdot{k}=-1⇔k=-\frac{1}3\)
Tænker jeg rigtigt og i givet fald er det efterfølgende blot at sætte prøve ved at løse ligningerne som to ligninger med to ubekendte?
Jeg skal bestemme en værdi for \(k\), så \(l_{1}\) og \(l_{2}\) er ortogonale.
\(l_{1}: 3x-4y=2\)
\(l_{2}: k\cdot{x}-2y=4\)
Jeg ved at \(l_{1}⊥l_{2}⇔a\cdot{c}=-1\)
Altså, produktet af hældningskoefficienterne \(a\) og \(c\) skal være \(-1\) hvis \(l_{1}\) og \(l_{2}\) er ortogonale. Jeg ser, at \(a=3∧k=c\):
\(3\cdot{k}=-1⇔k=-\frac{1}3\)
Tænker jeg rigtigt og i givet fald er det efterfølgende blot at sætte prøve ved at løse ligningerne som to ligninger med to ubekendte?
-
- Indlæg: 644
- Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
3 og k er ikke hældningskoefficienterne, når linjerne er opskrevet på den form.
Enten: Isolér y i de to ligninger så de kommer på "hældningsformen" y = ax + b og brug så din formel.
Eller:
Brug at skalar-/prikproduktet af linjernes normalvektorer skal være lig "0" og bestem k.
Husk at normalvektorernes koordinater er koefficienterne til x og y.
Kontrol: Tegn de to linjer i CAS og tjek for ortogonalitet.
Enten: Isolér y i de to ligninger så de kommer på "hældningsformen" y = ax + b og brug så din formel.
Eller:
Brug at skalar-/prikproduktet af linjernes normalvektorer skal være lig "0" og bestem k.
Husk at normalvektorernes koordinater er koefficienterne til x og y.
Kontrol: Tegn de to linjer i CAS og tjek for ortogonalitet.
-
- Indlæg: 39
- Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
Ah, stemmer. Jeg omskriver
\(l_1:3x−4y=2⇔y=\frac3{4}x-\frac2{4}\)
hvor \(\frac3{4}=a⇒\frac3{4}\cdot{c}=-1⇔c=-\frac4{3}\)
Tjekker i CAS senere. Mange tak
\(l_1:3x−4y=2⇔y=\frac3{4}x-\frac2{4}\)
hvor \(\frac3{4}=a⇒\frac3{4}\cdot{c}=-1⇔c=-\frac4{3}\)
Tjekker i CAS senere. Mange tak
-
- Indlæg: 644
- Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
\(a_{\,l_1}=\frac{3}{4} \\
a_{\,l_2}\;{\color{Red} \neq} -\frac{4}{2}=-2\)
Jeg skrev: "Isolér y i de to ligninger..."
a_{\,l_2}\;{\color{Red} \neq} -\frac{4}{2}=-2\)
Jeg skrev: "Isolér y i de to ligninger..."
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
Til ringstedLC
Jeg forstår ikke din sidste kommentar og jeg tror, at du har fejllæst det, som MikeCharlie skriver.
Det er specielt sætningen \({a_{l_2}}\neq-\frac 4 2\)
Det mener jeg ikke, at MikeCharlie har skrevet.
Han bestemmer korrekt den anden linjes hældningskoefficient til \(c=-\frac 4 3\), men mangler at skrive, at den også er \(\frac k 2\) og bestemme \(k\) ud fra det.
Jeg forstår ikke din sidste kommentar og jeg tror, at du har fejllæst det, som MikeCharlie skriver.
Det er specielt sætningen \({a_{l_2}}\neq-\frac 4 2\)
Det mener jeg ikke, at MikeCharlie har skrevet.
Han bestemmer korrekt den anden linjes hældningskoefficient til \(c=-\frac 4 3\), men mangler at skrive, at den også er \(\frac k 2\) og bestemme \(k\) ud fra det.
-
- Indlæg: 39
- Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
Jeg fortsætter:
\(l_2:k\cdot{x}-2y=4⇔\frac{k\cdot{x}}{2}-\frac{2y}{2}=\frac{4}{2}⇔y=\frac{k\cdot{x}}{2}-\frac{4}{2}\)
\({a_l}_2=\frac{k}{2}\)
Hvis \({a_l}_1=\frac{3}{4}\),
Kan jeg skrive \(\frac{3}{4}\cdot{\frac{k}{2}}=-1⇔\frac{3\cdot{k}}{8}=-1⇔\frac{k}{8}=-\frac{1}{3}⇔k=-\frac{8}{3}\)
\(\frac{3}{4}\cdot{-\frac{8}{3}}≠-1⇒l_1\) er ikke ortogonal til \(l_2\)
Håber det gav mening. Jeg har stadig meget at lære mht. syntaks.
\(l_2:k\cdot{x}-2y=4⇔\frac{k\cdot{x}}{2}-\frac{2y}{2}=\frac{4}{2}⇔y=\frac{k\cdot{x}}{2}-\frac{4}{2}\)
\({a_l}_2=\frac{k}{2}\)
Hvis \({a_l}_1=\frac{3}{4}\),
Kan jeg skrive \(\frac{3}{4}\cdot{\frac{k}{2}}=-1⇔\frac{3\cdot{k}}{8}=-1⇔\frac{k}{8}=-\frac{1}{3}⇔k=-\frac{8}{3}\)
\(\frac{3}{4}\cdot{-\frac{8}{3}}≠-1⇒l_1\) er ikke ortogonal til \(l_2\)
Håber det gav mening. Jeg har stadig meget at lære mht. syntaks.
-
- Indlæg: 644
- Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
Til JensSkakN.
Det mener jeg heller ikke nu... (efter at pudset brillerne). Undskyld MikeCharlie!
Det mener jeg heller ikke nu... (efter at pudset brillerne). Undskyld MikeCharlie!
-
- Indlæg: 644
- Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
Ja, det kan du godt skrive og får helt korrekt:
\(k=-\frac{8}{3}\)
Men så "blander" du igen tingene:
\(a_{l_1}\cdot a_{l_2}=-1 \Leftrightarrow l_1 \perp l_2 \\
\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=-1 \\
-\frac{3\cdot \,4}{4\cdot \,3}=-1\)
Husk: Koefficienten til x er kun hældningskoefficienten, når linjens ligning er på "hældningsformen":
\(y=a\,x+b\)
Når ligningen er opskrevet på andre former (hvori der eventuelt kan indgå et "a) må den omskrives til "hældn.-formen".
\(k=-\frac{8}{3}\)
Men så "blander" du igen tingene:
\(a_{l_1}\cdot a_{l_2}=-1 \Leftrightarrow l_1 \perp l_2 \\
\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=-1 \\
-\frac{3\cdot \,4}{4\cdot \,3}=-1\)
Husk: Koefficienten til x er kun hældningskoefficienten, når linjens ligning er på "hældningsformen":
\(y=a\,x+b\)
Når ligningen er opskrevet på andre former (hvori der eventuelt kan indgå et "a) må den omskrives til "hældn.-formen".
-
- Indlæg: 39
- Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
Helt i orden, ringstedLC. :)
\(k=-\frac{8}{3}\),
\(-\frac{\frac{8}{3}}{2}=-\frac{4}{3}\)
Og som du skriver, \({a_l}_1\cdot{a_l}_2=-1⇔l_1⊥l_2\)
Altså er de to linjer ortogonale. Tak for hjælpen.
\(k=-\frac{8}{3}\),
\(-\frac{\frac{8}{3}}{2}=-\frac{4}{3}\)
Og som du skriver, \({a_l}_1\cdot{a_l}_2=-1⇔l_1⊥l_2\)
Altså er de to linjer ortogonale. Tak for hjælpen.
-
- Indlæg: 644
- Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05
Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer
Pas lige på i din "konklusion".
Du skal bestemme k så linjerne er ortogonale, - ikke undersøge om de er det.
Du skal bestemme k så linjerne er ortogonale, - ikke undersøge om de er det.