Jeg arbejder med en mundtlig eksamensspørgsmål, hvor jeg skal redegøre for graf, forskrift og egenskaberne for eksponentielle- og logaritmefunktioners egenskaber?
Har redegjort for forskrift og graf, men mangler deres egenskaber. Kan en fortælle mig, hvad er deres egenskaber?
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Eksponentiel- og logaritmefunktioner
Re: Eksponentiel- og logaritmefunktioner
Du kan omtale deres definitionsmængde og værdimængde.
Monotoniforhold
Logaritmefunktioner er altid voksende.
Eksponentialfunktionen \(f(x)=e^x\) er ligeledes voksende.
Derimod er den eksponentielle sammenhæng som fx \(f(x)=3\cdot {e^{-0.7x}}\) en aftagende funktion.
Enhver eksponentialfunktion af typen \(f(x)=k\cdot {e^x}\) har den besynderlige egenskab, at den er lig dens egen differentialkvotient.
Logaritmefunktionen har den vigtige egenskab, at \(\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\) og den er derfor historisk set indført for at lette arbejdet med besværlige multiplikationer. Forklar dette med et eksempel.
Som bekendt er stamfunktionen til en potensfunktion \(f(x)=b\cdot x^a\) funktionen \(F(x)={\frac b{a+1}} \cdot x^{a+1}+c\)
Denne formel forudsætter naturligvis, at \(a\neq -1\), da man jo ikke må dividere med 0.
Men i det tilfælde er stamfunktionen \(F(x)=b\cdot {\ln(x)}+c\)
Monotoniforhold
Logaritmefunktioner er altid voksende.
Eksponentialfunktionen \(f(x)=e^x\) er ligeledes voksende.
Derimod er den eksponentielle sammenhæng som fx \(f(x)=3\cdot {e^{-0.7x}}\) en aftagende funktion.
Enhver eksponentialfunktion af typen \(f(x)=k\cdot {e^x}\) har den besynderlige egenskab, at den er lig dens egen differentialkvotient.
Logaritmefunktionen har den vigtige egenskab, at \(\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\) og den er derfor historisk set indført for at lette arbejdet med besværlige multiplikationer. Forklar dette med et eksempel.
Som bekendt er stamfunktionen til en potensfunktion \(f(x)=b\cdot x^a\) funktionen \(F(x)={\frac b{a+1}} \cdot x^{a+1}+c\)
Denne formel forudsætter naturligvis, at \(a\neq -1\), da man jo ikke må dividere med 0.
Men i det tilfælde er stamfunktionen \(F(x)=b\cdot {\ln(x)}+c\)
Re: Eksponentiel- og logaritmefunktioner
Men skal jeg så bare nævne egenskaberne eller også bevise dem?
Selve eksamensspørgsmålet lyder sådan her:
"Gør rede for graf og forskrift for eksponential- og logaritmefunktioner og redegør for nogle af deres egenskaber. Bevis desuden, at den fuldstændige løsning til differentialligningen y^'=ky er en eksponentiel sammenhæng."
Selve eksamensspørgsmålet lyder sådan her:
"Gør rede for graf og forskrift for eksponential- og logaritmefunktioner og redegør for nogle af deres egenskaber. Bevis desuden, at den fuldstændige løsning til differentialligningen y^'=ky er en eksponentiel sammenhæng."
Re: Eksponentiel- og logaritmefunktioner
Det afhænger jo af, hvor dygtig du er. Det giver altid flere point at bevise en påstand end bare at nævne den. Du ved jo, hvor lang tid du har og ud fra det bør du vælge et passende antal egenskaber og udvælge nogle, som du også beviser. Du kan jo fx begynde med at nævne dem, du vil omtale og så undervejs sige, at du vender tilbage til beviset eller at det har du ikke tænkt dig at bevise eller det beviser du, hvis du stadig har tid.
Bemærk at det sidste, du bliver bedt om at bevise, faktisk er forkert. Jeg synes bestemt, at du skal nævne, at det er forkert da funktionen y=0 også er en løsning, men det er ikke en eksponentiel sammenhæng. Derefter bør du bevise, at ud over denne løsning bliver den fuldstændige løsning en eksponentiel sammenhæng, hvis bare \(k\neq 0\). Evt kan du også komme ind på problemet, hvis \(k=0\).
Bemærk at det sidste, du bliver bedt om at bevise, faktisk er forkert. Jeg synes bestemt, at du skal nævne, at det er forkert da funktionen y=0 også er en løsning, men det er ikke en eksponentiel sammenhæng. Derefter bør du bevise, at ud over denne løsning bliver den fuldstændige løsning en eksponentiel sammenhæng, hvis bare \(k\neq 0\). Evt kan du også komme ind på problemet, hvis \(k=0\).