Historisk matematik
: 11 dec 2018, 16:52
Omkring år 1100 offentliggjorde Omar Khayyam formler for geometrisk fremfinding af reelle rødder i trediegradsligninger.
Formlerne kan samles og generaliseres til:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (a≠0), neddivideres til en form, hvor a=+1
Så har vi x^3 + bx^2 + cx + d = 0
Vi skal bruge en ligning hvor c er positiv og d er ulig 0.
Hvis disse betingelser ikke er opfyldt må vi konstruere en ”erstatningsligning”, ved at erstatte alle x-erne med (x+n) hvor n er valgt således at betingelserne opfyldes.
Herved forskydes grafen for funktionen x^3 + bx^2 + cx + d vandret, men de indbyrdes forhold mellem rødderne beholdes.
(HUSK: Når realrødderne er fundet, skal man ”trække tilbage” til det oprindelige x)
Idet den ubekendte igen benævnes x, har vi nu funktionen
y = ax^3 +bx^2 +cx +d, hvor vi ved at a = + 1, c > 0 og d ≠ 0.
Så konstrueres en cirkel i et alm. koordinatsystem.
Cirklens ligning er y^2 = -x^2-(b+ d/c)x-b*d/c
(Cirklens diameter ligger på x-aksen, med skæringspunkter –d/c og –b)
Derpå konstrueres – i samme koordinatsystem – hyperblen
y=Kvadratroden af c + (d/kvadratroden af c)/x
Hyperblen har asymptoterne x=0 (altså y-aksen) og kvadratroden af c
Cirkelperiferien og hyperblen vil nu skære hinanden i punkter, hvis x-koordinater svarer til reelle rødder i trediegradsligningen x^3 + bx^2 + cx + d = 0
(samt i punktet x = – d/c, hvor y = 0).
Jeg har spekuleret over om der kan konstrueres lignende geometriske fremgangsmåder for fremfinding af reelle rødder i femtegradsligninger.
Formlerne kan samles og generaliseres til:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (a≠0), neddivideres til en form, hvor a=+1
Så har vi x^3 + bx^2 + cx + d = 0
Vi skal bruge en ligning hvor c er positiv og d er ulig 0.
Hvis disse betingelser ikke er opfyldt må vi konstruere en ”erstatningsligning”, ved at erstatte alle x-erne med (x+n) hvor n er valgt således at betingelserne opfyldes.
Herved forskydes grafen for funktionen x^3 + bx^2 + cx + d vandret, men de indbyrdes forhold mellem rødderne beholdes.
(HUSK: Når realrødderne er fundet, skal man ”trække tilbage” til det oprindelige x)
Idet den ubekendte igen benævnes x, har vi nu funktionen
y = ax^3 +bx^2 +cx +d, hvor vi ved at a = + 1, c > 0 og d ≠ 0.
Så konstrueres en cirkel i et alm. koordinatsystem.
Cirklens ligning er y^2 = -x^2-(b+ d/c)x-b*d/c
(Cirklens diameter ligger på x-aksen, med skæringspunkter –d/c og –b)
Derpå konstrueres – i samme koordinatsystem – hyperblen
y=Kvadratroden af c + (d/kvadratroden af c)/x
Hyperblen har asymptoterne x=0 (altså y-aksen) og kvadratroden af c
Cirkelperiferien og hyperblen vil nu skære hinanden i punkter, hvis x-koordinater svarer til reelle rødder i trediegradsligningen x^3 + bx^2 + cx + d = 0
(samt i punktet x = – d/c, hvor y = 0).
Jeg har spekuleret over om der kan konstrueres lignende geometriske fremgangsmåder for fremfinding af reelle rødder i femtegradsligninger.