Vilkårlig trekant

[MikeCharlie]

Hejsa

Jeg har en vilkårlig trekant \(ABC\):

https://ibb.co/RPGtdp7

Jeg ved, at arealet er 100.

Hvordan går jeg frem for at finde sidelængderne? Det ser ikke ud til, at jeg kan bruge hverken sinus- eller cosinusrelationerne.

Mit foreløbige bud er at nedfælde højden \(h\): \(100 = \frac{1}{2}*h*40 ⇔ h = 5\)

Hvis jeg kalder linjestykket mellem \(A\) og \(h\)'s krysning til \(b\) for \(x\) og det resterende for \(b-x\), kan jeg finde \(a\) og \(c\) vha. Pythagoras:

https://ibb.co/b1g2n81

\(c^2=x^2+h^2\) ;

\(a^2=h^2+(b-x)^2\)

Er jeg helt gal på den, eller skal jeg blot fortsætte? Jeg kan dog ikke helt regne ud hvordan jeg finder \(x\).

På forhånd tak.

[JensSkakN]

Nej, du er ikke helt gal på den, men du glemmer at benytte oplysningen om at \(\angle A=30^o\)
Derfor er \(\sin 30 =\frac h c\). Ud fra denne ligning kan du beregne \(c\).
Derefter har du flere muligheder til at beregne \(a\), fx cosinusrelationen.

[MikeCharlie]

Hej Jens

Tak for svar. Jeg har sovet på det og kom i tanker om at jeg havde glemt at indstille mit CAS program til at regne i radianer fremfor grader. Dum lille fejl som har kostet mig meget frustration og tid. Men hermed fandt jeg sidelængderne jeg var ude efter:

\(\sin(A) = \frac{modstående}{hypotenusen}= \frac{h}{c}\)

\(\sin(30) = \frac{5}{c}⇔ \frac{1}{\sin(30)} = \frac{c}{5}⇔ \frac{1*5}{\sin(30)}= \frac{5c}{5}⇒ c = \frac{5}{0.5}= 5*2 = 10\) (ved ikke hvordan man laver en brøk inde i en brøk i LaTex)

Finder \(x\) vha. Pythagoras: \(c^2-h^2=x^2: 10^2-5^2=x^2⇔ x=\sqrt{10^2-5^2}\)
\(⇒ x=8.66025\)

Dernæst kan jeg finde \(a\): \(a^2=h^2+(b-8.66025)^2⇔ a=\sqrt{5^2+(40-8.66025)^2}\)
\(⇒ a=31.7361\)

Konklusion: Siderne i trekanten \(ABC\) er \(AB\) = 10, \(BC\) = 31.74 og \(AC\) = 40.

[JensSkakN]

Fint.
Man skriver \frac 5 {\frac 1 2}
\(\frac 5 {\frac 1 2}\)