Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Ortogonalitet mellem to rette linjer

Besvar
MikeCharlie
Indlæg: 39
Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59

Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af MikeCharlie »

Hejsa

Jeg skal bestemme en værdi for \(k\), så \(l_{1}\) og \(l_{2}\) er ortogonale.

\(l_{1}: 3x-4y=2\)

\(l_{2}: k\cdot{x}-2y=4\)

Jeg ved at \(l_{1}⊥l_{2}⇔a\cdot{c}=-1\)

Altså, produktet af hældningskoefficienterne \(a\) og \(c\) skal være \(-1\) hvis \(l_{1}\) og \(l_{2}\) er ortogonale. Jeg ser, at \(a=3∧k=c\):

\(3\cdot{k}=-1⇔k=-\frac{1}3\)

Tænker jeg rigtigt og i givet fald er det efterfølgende blot at sætte prøve ved at løse ligningerne som to ligninger med to ubekendte?
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af ringstedLC »

3 og k er ikke hældningskoefficienterne, når linjerne er opskrevet på den form.

Enten: Isolér y i de to ligninger så de kommer på "hældningsformen" y = ax + b og brug så din formel.

Eller:
Brug at skalar-/prikproduktet af linjernes normalvektorer skal være lig "0" og bestem k.
Husk at normalvektorernes koordinater er koefficienterne til x og y.

Kontrol: Tegn de to linjer i CAS og tjek for ortogonalitet.
MikeCharlie
Indlæg: 39
Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af MikeCharlie »

Ah, stemmer. Jeg omskriver

\(l_1:3x−4y=2⇔y=\frac3{4}x-\frac2{4}\)
hvor \(\frac3{4}=a⇒\frac3{4}\cdot{c}=-1⇔c=-\frac4{3}\)

Tjekker i CAS senere. Mange tak
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af ringstedLC »

\(a_{\,l_1}=\frac{3}{4} \\
a_{\,l_2}\;{\color{Red} \neq} -\frac{4}{2}=-2\)


Jeg skrev: "Isolér y i de to ligninger..."
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af JensSkakN »

Til ringstedLC
Jeg forstår ikke din sidste kommentar og jeg tror, at du har fejllæst det, som MikeCharlie skriver.
Det er specielt sætningen \({a_{l_2}}\neq-\frac 4 2\)
Det mener jeg ikke, at MikeCharlie har skrevet.
Han bestemmer korrekt den anden linjes hældningskoefficient til \(c=-\frac 4 3\), men mangler at skrive, at den også er \(\frac k 2\) og bestemme \(k\) ud fra det.
MikeCharlie
Indlæg: 39
Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af MikeCharlie »

Jeg fortsætter:

\(l_2:k\cdot{x}-2y=4⇔\frac{k\cdot{x}}{2}-\frac{2y}{2}=\frac{4}{2}⇔y=\frac{k\cdot{x}}{2}-\frac{4}{2}\)

\({a_l}_2=\frac{k}{2}\)

Hvis \({a_l}_1=\frac{3}{4}\),

Kan jeg skrive \(\frac{3}{4}\cdot{\frac{k}{2}}=-1⇔\frac{3\cdot{k}}{8}=-1⇔\frac{k}{8}=-\frac{1}{3}⇔k=-\frac{8}{3}\)

\(\frac{3}{4}\cdot{-\frac{8}{3}}≠-1⇒l_1\) er ikke ortogonal til \(l_2\)

Håber det gav mening. Jeg har stadig meget at lære mht. syntaks.
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af ringstedLC »

Til JensSkakN.

Det mener jeg heller ikke nu... (efter at pudset brillerne). Undskyld MikeCharlie!
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af ringstedLC »

Ja, det kan du godt skrive og får helt korrekt:

\(k=-\frac{8}{3}\)

Men så "blander" du igen tingene:

\(a_{l_1}\cdot a_{l_2}=-1 \Leftrightarrow l_1 \perp l_2 \\
\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=-1 \\
-\frac{3\cdot \,4}{4\cdot \,3}=-1\)

Husk: Koefficienten til x er kun hældningskoefficienten, når linjens ligning er på "hældningsformen":

\(y=a\,x+b\)

Når ligningen er opskrevet på andre former (hvori der eventuelt kan indgå et "a) må den omskrives til "hældn.-formen".
MikeCharlie
Indlæg: 39
Tilmeldt: 03 nov 2021, 11:59

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af MikeCharlie »

Helt i orden, ringstedLC. :)

\(k=-\frac{8}{3}\),

\(-\frac{\frac{8}{3}}{2}=-\frac{4}{3}\)

Og som du skriver, \({a_l}_1\cdot{a_l}_2=-1⇔l_1⊥l_2\)

Altså er de to linjer ortogonale. Tak for hjælpen.
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Ortogonalitet mellem to rette linjer

Indlæg af ringstedLC »

Pas lige på i din "konklusion".

Du skal bestemme k så linjerne er ortogonale, - ikke undersøge om de er det.
Besvar