Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Løsning af ligning og monotoniforhold #1

Besvar
DryWind4
Indlæg: 217
Tilmeldt: 16 jan 2021, 17:38

Løsning af ligning og monotoniforhold #1

Indlæg af DryWind4 »

Billede

Jeg kan næsten intet huske om differentiering og det er mit svageste emne indtil videre. Så det skal nok blive godt det her. Men der er jo ikke andet for end at hoppe ud i det, også modtage nogle gok i nødden og lære af det.

Billede

Jeg prøver at differentiere regneforskriften...

Billede

Så bliver jeg bedte om at løse ligningen f mærke x er lig 0.

Jeg ved ikke lige om det er det rette jeg har gang i, eller jeg kan bruge dette til noget. Læser et andet sted på nettet at hvis man skal finde f'(x)=0 kan man bruge nulreglen på ens ligning?

Kan godt mærke at hovedet er lidt fyldt nu. Så tager en pause og vender tilbage senere eller i morgen, og ser om jeg kan løse denne opgave.
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Løsning af ligning og monotoniforhold #1

Indlæg af JensSkakN »

Din differentiering er forkert
\(f'(x)=x^3-1\)
Det er denne højre side, du skal sætte til 0.
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Løsning af ligning og monotoniforhold #1

Indlæg af ringstedLC »

\(f(x)=\tfrac{1}{4}x^{4}-x+1 \\
f'(x)=\bigl(\tfrac{1}{4}x^{4}\bigr)'+\bigl(-x\bigr)'+\bigl(1\bigr)' \\
\qquad=\tfrac{4\,\cdot \,1}{4}x^{4-1}-1+0 \;,\;\bigl(ax^{n}\bigr)'=nax^{n-1} \\
f'(x)=x^{{\color{Red} 3}}-1=0\Rightarrow x^{3}=1\Rightarrow x=\;?\)
DryWind4
Indlæg: 217
Tilmeldt: 16 jan 2021, 17:38

Re: Løsning af ligning og monotoniforhold #1

Indlæg af DryWind4 »

Så kan man bruge nulreglen på det, eller skal jeg bare være ligeglad med det, nu når denne opgave er med hjælpemidler og lade CAS give et svar?

Billede

Og ja, i har ret i at jeg differentierede forkert, havde glemt at minusse eksponenten.

Wordmat siger bare at x = 1.

Mens andre lommeregnere siger dette.

Billede
DryWind4
Indlæg: 217
Tilmeldt: 16 jan 2021, 17:38

Re: Løsning af ligning og monotoniforhold #1

Indlæg af DryWind4 »

Igen jeg kan næsten intet huske om differentiering, så det skal jeg selvfølgeligt tilbage at øve. Men lige nu vil jeg lige færdiggøre denne opgave. Så jeg har prøvet at læne mig af en video om monotoniforhold og har fået således:

Billede
Billede

Jeg har dog ikke specielt stor selvtillid angående om det er korrekt, eller om jeg er helt i skoven.
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Løsning af ligning og monotoniforhold #1

Indlæg af ringstedLC »

Beklager; meningen var blot at påpege fortegnsfejlen (-1) i besvarelsen.

Burde have skrevet:
\(\begin{array} {llll}
\left. \begin{matrix}
f'(x)\;{\color{Red} \leq}\;0 &\Rightarrow f(x) \searrow &,\;-\infty < x \leq 1 & \bigl(\,x\in \left]-\infty ;1\right] \,\bigr) \\
f'(x)\;{\color{Red} \geq}\;0 &\Rightarrow f(x) \nearrow &,\;1 \leq x < \infty \;\;\; & \bigl(\, x\in \left[1;\infty \right[ \,\bigr) \;\;\; \end{matrix}\right\}
& \Rightarrow f(1) = f_{min.} =\;?
\end{array}\)

som så gerne skulle stemme.
Senest rettet af ringstedLC 29 mar 2021, 19:12, rettet i alt 2 gange.
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Løsning af ligning og monotoniforhold #1

Indlæg af JensSkakN »

Du er absolut ikke i skoven, men gør det fuldstændig korrekt.
Forskellen på de to løsninger for ligningen \(x^3=1\), ligger i, at de andre lommeregnere også angiver imaginære/komplekse løsninger. Disse kan kendes på, at der indgår kvadratrødder af negative tal eller symbolet \(i\). Dette indgår ikke i gymnasie og HF pensum, så når du møder det, skal du bare se bort fra det. RingstedLC skriver irrationale løsninger, men det er noget andet, som faktisk indgår i dit pensum fx \(\sqrt 2\) eller \(\pi\).
Du har også helt ret i, at selvom \(f'(x)=0\) kan man ikke være sikker på, at der er et ekstremum. Funktionen \(f(x)=4x^5\) er voksende i hele sin definitionsmængde, men differentialkvotienten er 0, når \(x=0\).
Endelig har du ret mht. angivelse af monotoniintervaller. Denne funktion i opgaven er aftagende i \(]-\infty;\, 1]\) og voksende i \([1;\,\infty[\). At skrive det som åbne intervaller, som Ringsted LC skriver, trækker ned. Det giver ingen mening at spørge, hvad den så er i punktet \(x=1\), for spørgsmålet om monotoniforhold giver kun mening i intervaller.
Besvar