Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Mindste kvadraters metode hjælp

Besvar
KLT123
Indlæg: 3
Tilmeldt: 27 dec 2020, 17:05

Mindste kvadraters metode hjælp

Indlæg af KLT123 »

Hej,

Jeg har et spørgsmål til artiklen om mindste kvadraters metode.

Når der i sammenfatningen står at T differentieret mht. a er lig: ∑i=1n = 2⋅(a⋅xi+b−yi)⋅xi = 0 og mht. b er lig: ∑i=1n = 2⋅(a⋅xi+b−yi) = 0.
Hvorfor står der " * xi " mht. a og ikke noget tilsvarende mht. b?

På forhånd tak for svar :)
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Mindste kvadraters metode hjælp

Indlæg af ringstedLC »

Det kommer af, at a er koefficienten for \(x_i\),
mens b "bare" er en konstant.
Det ville vel være mærkeligt, hvis det gav to ens resultater.

Prøv selv:

\(\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} a} = \text{afledede}\bigl(T,\,a)
= \text{afledede}\Bigl(\bigl(a\cdot x_i+b-y_i\bigr)^2,\,a\Bigr)\\
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} b} = \text{afledede}\bigl(T,\,b)
= \text{afledede}\Bigl(\bigl (a\cdot x_i+b-y_i\bigr)^2,\,b\Bigr)\)


https://www.webmatematik.dk/lektioner/m ... ers-metode
KLT123
Indlæg: 3
Tilmeldt: 27 dec 2020, 17:05

Re: Mindste kvadraters metode hjælp

Indlæg af KLT123 »

Okay, det kan jeg godt se, kan du forklare mig hvorfor det er sådan? Jeg skal bruge det til min studieretningsopgave :-)

Jeg har gjort følgende på Maple:

Billede
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Mindste kvadraters metode hjælp

Indlæg af ringstedLC »

Tag \(-y_i\) ud af forskriften og kvadrer parentesen.
Betragt nu \(x_i\) og b som konstanter og a som en variabel,
og differentier så i hånden.

Gentag med a og b i modsatte roller.
KLT123
Indlæg: 3
Tilmeldt: 27 dec 2020, 17:05

Re: Mindste kvadraters metode hjælp

Indlæg af KLT123 »

Jeg er usikker på, om jeg forstår det rigtigt. Kan du eventuelt forsøge at forklare det der sker i ord?

Jeg har forsøgt at kvadrere den nu:

(axi + b)^2 = a^2 * xi^2 + abxi +abxi + b^2

Er det rigtigt?

Beklager ulejligheden, men det er virkelig rart at kunne få hjælp :-)
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Mindste kvadraters metode hjælp

Indlæg af JensSkakN »

Jeg supplerer lige dette svar med en mere konkret kommentar til anvendelsen af Maple.
Den første sætning, du skriver, som begynder med solve(, er en meget dårlig måde at bruge Maple på, som Maple desværre accepterer.
Du løser et udtryk, men man kan kun løse ligninger. Maple antager derfor, at der skulle stå '\(=0\)', hvorved udtrykket omdannes til en ligning. Når jeg skriver det samme som dig i Maple, får jeg desuden 2 svar, nemlig de to løsninger til denne ligning.
Dernæst differentierer du en sammensat funktion (af to variable):
\(T(a,b)=z^2\), hvor \(z=a\cdot {x_i}+b-y_i\).
Som bekendt differentierer man en sammensat funktion således
\(\frac {dT}{da}={\frac{dT}{dz}}\cdot{\frac{dz}{da}}={2z}\cdot{x_i}={2x_i}\cdot{(a\cdot{x_i}+b-y_i)}\)

Din kvadrering er korrekt.
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Mindste kvadraters metode hjælp

Indlæg af ringstedLC »

KLT123 skrev:Jeg er usikker på, om jeg forstår det rigtigt. Kan du eventuelt forsøge at forklare det der sker i ord?
Foreløbig går det jo rigtig godt, fortsæt!
KLT123 skrev: Jeg har forsøgt at kvadrere den nu:

(axi + b)^2 = a^2 * xi^2 + abxi +abxi + b^2
Korrekt. Noteret her ved brug af knappen "LaTex":

\(\begin{align*}\begin{array} {llll}
\left ( a\,x_i+b \right )^2 \!&\!=a^2\cdot {x_i}^2+abx_i+abx_i+b^2 \\
\!&\! \quad\text{reducer og opstil på formerne:}&& \\

\!&\!= k_1\cdot a^2+k_2\cdot a+b^2 \!&\!\!&\!= b^2+k_4\cdot b+k_3 \\
\;\;\;\frac{\mathrm{d} \left ( a\,x_i+b \right )^2}{\mathrm{d} a} \!&\!= \;?
\!&\! \;\;\;\frac{\mathrm{d} \left ( a\,x_i+b \right )^2}{\mathrm{d} b} \!&\!= \;? \\

\!&\!= \left (a{x_i}+b\right )\cdot 2{x_i} \!&\!\!&\! = \left (a{x_i}+b\right )\cdot 2
\end{array}\end{align*}\)
KLT123 skrev: Beklager ulejligheden, men det er virkelig rart at kunne få hjælp :-)
Godt at høre og spar beklagelserne, - det er dejligt at kunne hjælpe.
Besvar