Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Det gyldne snit

Besvar
AB0131
Indlæg: 22
Tilmeldt: 04 mar 2022, 13:20

Det gyldne snit

Indlæg af AB0131 »

Hej!
Jeg har et spørgsmål angående et bevis om det gyldne rektangel (se gerne vedhæftninger, der viser det gyldne rektangel og de forskellige trin i beviset).
Jeg forstår dog ikke, hvorfor beviset gribes an ved som det første at omskrive den første brøk til dens reciprokke værdi og ville derfor sætte stor pris på en forklaring.
Vedhæftede filer
2022-03-06.png
2022-03-06.png (339.56 KiB) Vist 1263 gange
download.png
download.png (1.02 KiB) Vist 1263 gange
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Det gyldne snit

Indlæg af JensSkakN »

Det er uklart, hvilken status, dit 'bevis' har.
Er det noget, du har skrevet af fra en tavle?
Problemet er det andet udtryk, som kan misforstås. De to brøkstreger er lige lange, men den øverste bør være længst.
Jeg kan ikke helt gennemskue tankegangen, men jeg synes ikke, det behøver være så indviklet.
Dit gyldne rektangel med sider \(a\) og \(b\) er defineret ved
\(\frac a b=\frac b {a-b}=\frac 1{\frac a b -1}\) (ved sidste omskrivning er både tæller og nævner divideret med \(b\))
Hvis brøken \(\frac a b\) kaldes for \(\Phi\) får vi
\(\Phi=\frac 1 {\Phi - 1}\implies \Phi^2-\Phi-1=0\implies \Phi =\frac {1+\sqrt 5} 2\)
AB0131
Indlæg: 22
Tilmeldt: 04 mar 2022, 13:20

Re: Det gyldne snit

Indlæg af AB0131 »

Tak for det hurtige svar!
Brøkstregen har jeg ikke hæftet mig ved, idet jeg oprindeligt skriver på et andet program, hvor de ikke er lige lange.
Til beviset har jeg benyttet følgende video fra ca. 12 minutter inde i videoen: https://www.khanacademy.org/math/geomet ... lden-ratio
Jeg har dog nedenfor vedhæftet endnu to billeder fra en bog, der også benytter idéen med den reciprokke brøk - Jeg kan sagtens se, at det i sidste ende resulterer i det rigtige svar, men kan umiddelbart ikke forstå, hvilken tankegang, der ligger bag.
Mht. det bevis, du fører i dit svar er jeg heller ikke sikker på, at jeg forstår tanken bag den tredje omskrivning.
Vedhæftede filer
275039841_645111973487622_3408404356299789402_n.jpg
275039841_645111973487622_3408404356299789402_n.jpg (18.33 KiB) Vist 1256 gange
274987496_351604646871174_5475182081491867907_n.jpg
274987496_351604646871174_5475182081491867907_n.jpg (45.74 KiB) Vist 1256 gange
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Det gyldne snit

Indlæg af JensSkakN »

Du skal aldrig spørge om, hvorfor man griber et bevis an på en bestemt måde.
Det afgørende er, om du forstår at de lighedstegn der indgår i argumentationen samt de følgeslutninger, der indgår, er korrekte. Hvis du er med på dette og beviset fører frem til det, du ønsker at bevise, så skal du være tilfreds. Hvis der er noget, du ikke kan se er korrekt, så spørg om det.
I bogen og i videoen opererer man med et bestemt tal, \(\Phi\), med den mærkelige egenskab, at man får det samme, hvis man beregner \(\frac 1 {\Phi}\) og hvis man beregner \(\Phi -1\)
I kopien fra din bog ønsker man at vise sætning 6. Det betyder, at man skal vise, at \(\frac h{g-h}=\Phi\)
Nu vælger forfatteren at regne på \(\frac {g-h}h\) og det har han eller hun lov til. Det afgørende er bare om det fører frem til det ønskede, og det gør det. Hvis der er noget i argumentationen, du ikke forstår, så spørg om det.

Du skriver, at du heller ikke er sikker på, at du forstår tankegangen ved min tredje omskrivning. Jeg tror, at du mener, at du ikke forstår, hvorfor mit andet lighedstegn er korrekt, altså at
\(\frac b{a-b}=\frac 1{\frac a b -1}\)
Det er en af de vigtige brøkregneregler. Når man har en brøk med tæller og nævner, ændrer man ikke brøkens værdi, hvis man ganger både tæller og nævner med det samme tal, blot ikke 0, eller hvis man dividerer både tæller og nævner med det samme tal, blot ikke 0.
Fx er \(\frac 6{10}\) det samme som \(\frac {18}{30}\) og det er også det samme som \(\frac 3 5\), men bemærk, at det ikke er det samme som \(\frac 5 9\).
I brøken anført til venstre for lighedstegnet, ved jeg at \(b\) ikke er 0. Jeg vælger så at dividere både tæller og nævner med \(b\).
Tælleren er \(b\) og \(\frac b b =1\).
Nævneren er \(a-b\) og når denne divideres med \(b\), får man \(\frac{a-b}b=\frac a b- \frac b b=\frac a b-1\)
Derfor er \(\frac b{a-b}=\frac 1{\frac a b -1}\)
AB0131
Indlæg: 22
Tilmeldt: 04 mar 2022, 13:20

Re: Det gyldne snit

Indlæg af AB0131 »

Tak for hjælpen og den grundige forklaring endnu engang. Jeg har lige et sidste spørgsmål til beviset i bogen.
Hvordan kan man gå fra 1/phi til h/g-h = phi (altså de sidste omskrivninger)?
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Det gyldne snit

Indlæg af JensSkakN »

Vi kigger på linjen med formler i det første klip.
Du formulerer dig forkert. 1/phi er ikke et udsagn, men et udtryk. Så vi 'går' ikke fra 1/phi til \(\frac h {g-h} = \Phi\)

Jeg antager, at du har forstået begrundelsen for de to første lighedstegn (ellers spørg igen). Det tredje lighedstegn følger af, at man tidligere har vist, at \(\Phi\) opfylder den mærkelige og overraskende egenskab, at \(\Phi - 1=\frac 1 {\Phi}\)
Men nu ved vi, at \(\frac{g-h} h=\frac 1 {\Phi}\) og så er det tilladt, at 'vende brøkerne om', hvilket giver
\(\frac h{g-h}=\frac{\Phi}1=\Phi\)
Besvar