Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Differentialligning

Besvar
Emil001
Indlæg: 8
Tilmeldt: 10 dec 2020, 19:16

Differentialligning

Indlæg af Emil001 »

God aften! Er i gang med at lave en eksamensspørgsmål til mundtlig matematik A, og sidder fast i denne her del med følgende bevis:

"Bevis at den fuldstændige løsning til differentialligningen y'=ky er en eksponentiel sammenhæng"

Her set at der er en del videoer, der minder om det, men er usikker om hvilken en, som jeg burde tage udgangspunkt i.
Har i nogle forslag eller links til beviset?
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Differentialligning

Indlæg af number42 »

Du kan bare tage et eksponentiel sammenhæng.

\(y = c \cdot e^{k \cdot x }\)

Og så indsætte det i den givne ligning y' = k y

Beregn y' og vis at det bliv k y
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Differentialligning

Indlæg af JensSkakN »

Det er ikke helt korrekt.
Her vises, at nogle bestemte eksponentialfunktioner opfylder denne differentialligning.
Men med denne formulering af spørgsmålet skal man vise, at der ikke er andre funktioner end disse, der også opfylder denne differentialligning.
Så du må lede efter et sådant bevis og hvis du ikke kan finde det, evt. spørge igen.
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Differentialligning

Indlæg af JensSkakN »

Jeg har lige en yderligere tilføjelse.
Påstanden, som du skal bevise, er faktisk ikke korrekt.
Hvis \(k=0\), er løsningerne \(y=c\), som ikke kaldes en eksponentiel sammenhæng.
Løsningen \(y=0\) er desuden også løsning, i alle de tilfælde, hvor \(k\neq 0\).
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Differentialligning

Indlæg af number42 »

Det er en lidt mærkeligt opgave.

I betragtning af det forventede niveau vil jeg foreslå:

Definitionen på en exponentiel funktion er at vækstraten er proportional med funktionens værdi.

Vækstraten er y' og funktionsværdien er y og proportionalitet konstanten er k.
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Differentialligning

Indlæg af JensSkakN »

Dette er ikke definitionen på dette niveau eller på noget gymnasialt niveau.
Den konstante funktion \(y=0\) er ikke en eksponentialfunktion eller en eksponentiel sammenhæng, selvom væksthastigheden er proportional med funktionsværdien. I hvert fald er ligningen \(y'=k\cdot y\) opfyldt.
Besvar