Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Differentialregning

Jacob5920
Indlæg: 1
Tilmeldt: 20 jun 2021, 17:02

Differentialregning

Indlægaf Jacob5920 » 20 jun 2021, 17:04

Hej
Hvordan beviser jeg at f(x)=ln⁡(x) er differentiabel for alle x>0?
:-)
JensSkakN
Indlæg: 842
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Differentialregning

Indlægaf JensSkakN » 20 jun 2021, 19:03

Hvis du definerer
\(\ln(x)=\int_1^x{\frac 1 z}\mathrm{d}z\,\,\,, \,x>0\)
er det indlysende, at \(\ln\) er differentiabel i 1 og at \((\ln(x))'=1\) for \(x=1\)
I et andet punkt \(x_0\) har man
\(\frac{\ln(x_0+h)-\ln(x_0)} h=\frac{\ln(1+\frac h {x_0})+\ln(x_0)-\ln(x_0)} h={\frac 1 {x_0}}\cdot{\frac{\ln(1+\frac h {x_0})-\ln(1)}{\frac h {x_0}}}\)
Men da den sidste brøk har grænseværdien 1 for \(\frac h{x_0}\) gående mod 0, får hele udtrykket grænseværdien \(\frac 1{x_0}\).
Dermed er det bevist
number42
Indlæg: 1370
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Differentialregning

Indlægaf number42 » 20 jun 2021, 22:37

\(e^x\) og ln(x) er omvendte funktioner

\(e^x\) er differentiabel for alle værdier af x med differential koefficienten \(e^x\) som er positiv for alle x

Heraf følger at ln(x) er differentiabel for alle x>0

Tilbage til "Matematik A"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 5 gæster