Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Poisson fordeling

Besvar
James45
Indlæg: 2
Tilmeldt: 17 mar 2021, 11:46

Poisson fordeling

Indlæg af James45 »

Jeg er igang med at skrive SRP om jordskælv. I dennne forbindelse skal jeg udlede poisson fordeling som er en sandsynlighedsmodel. Jeg har fået bevist selve beviset til poisson fordeling, men mangler hjælp til at vise at denne fordeling en sandsynlighed model der summere op til 1. Derfor vil jeg spørg om hjælp.Jeg har fået en material af min lære (vedhæftede), så skal jeg bare kunne forklare ud fra arken hvad der sker og hvordan bliver den til 1.
Håber at i kan hjælpe :))
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2021-03-17 kl. 11.53.47.png
Skærmbillede 2021-03-17 kl. 11.53.47.png (106.11 KiB) Vist 2931 gange
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Poisson fordeling

Indlæg af number42 »

Poissonfordelingen er \(e^{-\lambda} \lambda^x/ x!\) for x>= 0 og nul for x<0

Så du skal definere dette altså dit U skal være mængden u>=0
ligeledes skal middelværdien \(\lambda\) være et real tal større end nul

Det skal du fremhæve ellers duer dine beviser ikke.

Det ellers ikke klart hvad du mener er et problem.
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Poisson fordeling

Indlæg af JensSkakN »

Det skal yderligere fremhæves, at \(x\) eller \(u\) skal være et positivt helt tal eller 0.
Poissonfordelingen kan bruges til at angive sandsynligheden for \(x\) jordskælv, som overskrider en bestemt grænse, fx at der kan ske skader på bygninger, i et bestemt område, fx Japan, i et bestemt tidsinterval, fx 1 år. Man kan altså beregne sandsynligheden for 0 jordskælv, 1 jordskælv, 2 jordskælv, osv. og det er klart at summen af alle disse sandsynligheder skal være 1 og at alle disse sandsynligheder skal være positive tal.
Mit gæt er, at det sværeste for dig er at forstå argumentet for at summen faktisk bliver 1. For at hjælpe dig må du præcisere dine forudsætninger. Kender du symbolet \(\Sigma\), ved du hvad det betyder?
Kender du begrebet en Taylorrække? Rækkeudvikling for eksponentialfunktionen?
Prøv fx at vælge \(\lambda =0.7\) og beregn \(P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3)\) osv. så langt du gider fortsætte og kontroller, at summen af disse tal nærmer sig 1. Gentag bagefter med fx \(\lambda =2.3\).

Svar på disse spørgsmål, så skal vi nok hjælpe dig videre.
Senest rettet af JensSkakN 17 mar 2021, 16:58, rettet i alt 1 gang.
James45
Indlæg: 2
Tilmeldt: 17 mar 2021, 11:46

Re: Poisson fordeling

Indlæg af James45 »

Hej JensSkakN.

1.) Ja, jeg kender symbolet Σ. Det er symbolet for summen.
2.) Taylorrækken, er jeg u-sikker på.
3.) Rækkeudvikling for eksponentialfunktionen? Øhmm. Jeg har noget eksponential fordeling jeg skal bevis i min opgave, ved ikke om det er helt den samme?
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2021-03-17 kl. 14.50.52.png
Skærmbillede 2021-03-17 kl. 14.50.52.png (40.24 KiB) Vist 2923 gange
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Poisson fordeling

Indlæg af number42 »

En taylor serie er bare en (uendelig) sum som er lig med den funktion som ekspanderes

\(e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^6}{720}+\frac{x^7}{50
40}+\frac{x^8}{40320}+\frac{x^9}{362880}+\frac{x^{10}}{3628800}+O\left(x^{11}\right)\)


Serien en uendlig så man skærer den af efter hvilken nøjagtighed man ønsker
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Poisson fordeling

Indlæg af JensSkakN »

For nogle funktioner \(f(x)\) gælder, at de kan tilnærmes med følgende
\(f(x)=f(x_0)+{f'(x_0)}\cdot {\frac {x-x_0} {1!}}+{f''(x_0)}\cdot{\frac{(x-x_0)^2}{2!}}+{f'''(x_0)}\cdot{\frac{(x-x_0)^3}{3!}}+...\)
I praksis gælder det bl. a. for eksponentialfunktionen, sinus, logaritmefunktioner, potensfunktioner, polynomiumsfunktioner osv.
Hvis nu \(f(x)\) er eksponentialfunktionen \(e^x\) og \(x_0=0\), så får man
\(f(x_0)=e^0=1\)
\(f'(x)=e^x \implies f'(x_0)=f'(0)=e^0=1\)
\(f''(x)=e^x \implies f''(x_0)=f''(0)=e^0=1\)
osv., hvilket giver formlen
\(e^x\approx 1+x+\frac{x^2}2+\frac {x^3}6+\frac {x^4} {24}+..\)
Denne række kaldes for Taylorrækken for eksponentialfunktionen og man taler også om at rækkeudvikle eksponentialfunktionen. Det har ikke noget med en eksponentialfordeling at gøre. Hvis du vil, kan du prøve at kontrollere tilnærmelsen for nogle ikke for store værdier af \(x\) og evt. også at finde rækkeudviklingen for fx. sinusfunktionen.

Hvis du nu kigger tilbage på det ark, du har fået af din lærer, så viser det sig, at når man summerer sandsynlighederne fra Poissonfordelingen, så optræder \(e^{-\lambda}{\displaystyle\sum_0^{\infty} {\frac{\lambda^x}{x!}}}\)
Men ifølge ovenstående om rækkeudvikling er \({\displaystyle\sum_0^{\infty} {\frac{\lambda^x}{x!}}}=e^{\lambda}\) og dermed bliver summen af alle sandsynligheder 1.
Besvar