Webmatematik - Forum

Der er tale om en sammensat funktion
\(f(y)=\frac 1 {\sqrt{2\pi \sigma}}\,e^y\). hvor \(y=g(x)=-\frac 1 2 {(\frac {x-\mu}{\sigma})^2}\)
Differentialkvotienten af funktionen \(f(y)\) er identisk med \(f(y)\), mens
\(g'(x)=-(\frac {x-\mu}{\sigma^2})\)

Derfor bliver \(f'(x)={\frac {-1} {\sqrt{2\pi \sigma}}\,e^{-\frac 1 2 {(\frac {x-\mu}{\sigma})^2}}}\cdot{(\frac {x-\mu}{\sigma^2})}\)
Når man skal finde et maksimum, skal man finde et punkt, hvor differentialkvotienten er 0
\(f'(x)=0 \implies x=\mu\)
Derefter skal man kontrollere, at \(f'(x)\gt 0\) for \(x\lt \mu\) og at \(f'(x)\lt 0\) for \(x\gt \mu\). Begge dele er opfyldt her.
Derved har man vist, at \(f\) har maksimum i \(x=\mu\)

JensSkakN skrev:Der er tale om en sammensat funktion
\(f(y)=\frac 1 {\sqrt{2\pi \sigma}}\,e^y\). hvor \(y=g(x)=-\frac 1 2 {(\frac {x-\mu}{\sigma})^2}\)
Differentialkvotienten af funktionen \(f(y)\) er identisk med \(f(y)\), mens
\(g'(x)=-(\frac {x-\mu}{\sigma^2})\)

Derfor bliver \(f'(x)={\frac {-1} {\sqrt{2\pi \sigma}}\,e^{-\frac 1 2 {(\frac {x-\mu}{\sigma})^2}}}\cdot{(\frac {x-\mu}{\sigma^2})}\)
Når man skal finde et maksimum, skal man finde et punkt, hvor differentialkvotienten er 0
\(f'(x)=0 \implies x=\mu\)
Derefter skal man kontrollere, at \(f'(x)\gt 0\) for \(x\lt \mu\) og at \(f'(x)\lt 0\) for \(x\gt \mu\). Begge dele er opfyldt her.
Derved har man vist, at \(f\) har maksimum i \(x=\mu\)

Hvorfor bliver det til -1 i brøken ved det første led og hvorfor bliver det 2 i anden ved g(x) i brøken når det bliver differentieret?

jeg tror, du spørger til brøken \(\frac{-1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\)
Der står \({-1}\) i tælleren, fordi der var et \(-\) forrest i \(g'(x)\).
Den anden del af dit spørgsmål forstår jeg ikke. Der optræder ikke \(2^2\) noget steds, og jeg kan ikke gætte, hvad du mener. Jeg tror, at du udtrykker dig forkert.

Nu tror jeg nok, jeg lige gættede, hvad du mener.
\(g(x)=-\frac 1 2(\frac{x-\mu}{\sigma})^2=-\frac 1 2 z^2\) hvor \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)
Her er \(\frac{dz}{dx}=\frac 1{\sigma}\) så
\(g'(x)=-z \cdot {\frac 1{\sigma}}=-\frac{x-\mu}{\sigma^2}\)

Så det du mente var, hvorfor \(\sigma\) skulle sættes i anden.

Jer er ikke sikke på at det hjælper noget men vi har

\(f(x) =\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\)

Differentieret bliver det \(f'(x) =-\frac{(x-\mu ) e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma ^3}\)
idet vi husker at \(e^x\) differentieret er uforandret \(e^x\) og at vi skal differentiere hele vejen igennem altså hvis vi som eksempel skal differentiere
\(f(x) = h(g(x))\) så bliver det \(f'(x) = g'(x) h'(x)\), her er \(g(x) = -\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}\) som differentieret giver \(g'(x) = -\frac{x-\mu }{\sigma ^2}\)

Vi skal finde hvornår \(f'(x) =0\) det er jo ret nemt det er når \(x = \mu\)

JensSkakN skrev:jeg tror, du spørger til brøken \(\frac{-1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\)
Der står \({-1}\) i tælleren, fordi der var et \(-\) forrest i \(g'(x)\).
Den anden del af dit spørgsmål forstår jeg ikke. Der optræder ikke \(2^2\) noget steds, og jeg kan ikke gætte, hvad du mener. Jeg tror, at du udtrykker dig forkert.

Det er det her jeg hentyder til https://ibb.co/mTQHTJy, hvad sker der med 2 tallet udenfor parentesen i g(x) når den differentieres? Det med samme med hvorfor der står - tælleren

\(g(x)\) kan omskrives til \(-\frac 1 2 z^2\), hvor jeg har forklaret, hvad \(z\) er.
Den kan derfor opfattes som en funktion af \(z\), dvs \(g(x)=h(z)\)
Når \(h(z)=-\frac 1 2 z^2\) skal differentieres med hensyn til \(z\), får man \(h'(z)=-z\)
Derfor forsvinder 2-tallet, som jeg snarere ville kalde en halv.
Jeg er bange for, at jeg ikke kan forklare det bedre.

JensSkakN skrev:\(g(x)\) kan omskrives til \(-\frac 1 2 z^2\), hvor jeg har forklaret, hvad \(z\) er.
Den kan derfor opfattes som en funktion af \(z\), dvs \(g(x)=h(z)\)
Når \(h(z)=-\frac 1 2 z^2\) skal differentieres med hensyn til \(z\), får man \(h'(z)=-z\)
Derfor forsvinder 2-tallet, som jeg snarere ville kalde en halv.
Jeg er bange for, at jeg ikke kan forklare det bedre.

Tak for svaret. Jeg beklager jeg ikke har set dit tidligere indlæg på mit spørgsmål.

JensSkakN skrev:Der er tale om en sammensat funktion
\(f(y)=\frac 1 {\sqrt{2\pi \sigma}}\,e^y\). hvor \(y=g(x)=-\frac 1 2 {(\frac {x-\mu}{\sigma})^2}\)
Differentialkvotienten af funktionen \(f(y)\) er identisk med \(f(y)\), mens
\(g'(x)=-(\frac {x-\mu}{\sigma^2})\)

Derfor bliver \(f'(x)={\frac {-1} {\sqrt{2\pi \sigma}}\,e^{-\frac 1 2 {(\frac {x-\mu}{\sigma})^2}}}\cdot{(\frac {x-\mu}{\sigma^2})}\)
Når man skal finde et maksimum, skal man finde et punkt, hvor differentialkvotienten er 0
\(f'(x)=0 \implies x=\mu\)
Derefter skal man kontrollere, at \(f'(x)\gt 0\) for \(x\lt \mu\) og at \(f'(x)\lt 0\) for \(x\gt \mu\). Begge dele er opfyldt her.
Derved har man vist, at \(f\) har maksimum i \(x=\mu\)

Jeg har et spørgsmål. Hvordan er differentialkvotienten af funktionen f(y) identisk med f(y)?

Hvad mener du mon med 'hvordan' ?
Det er den bare.
Enhver funktion af typen \(f(y)=k\cdot{e^y}\) er lig med sin egen differentialkvotient.
Det er derfor tallet \(e=2.71828182846...\) er noget helt specielt.
Her er så \(\,\,k=\frac 1{\sqrt{2\pi\sigma}}\)